Liste des notations

  • b : largeur d’un élément, mm
  • do : diamètre d’un trou, mm
  • E : module d’élasticité, MPa
  • F¯ : contrainte de flambement normalisée pour des membrures ou des éléments
  • Fe : contrainte de flambement élastique, MPa
  • Fo : contrainte limite, MPa
  • Fy : limite élastique, MPa
  • f1 : contrainte de compression maximale (négative), MPa
  • f2 : contrainte à l’autre extrémité, positive s’il s’agit d’une contrainte en traction, MPa
  • Mp : moment plastique, N.mm
  • Mr : moment résistant pondéré d’une membrure ou d’un élément, MPa
  • m : facteur pour l’élancement des parois
  • S : module de section élastique de section brute, mm3
  • Sm : module de section effective, calculé avec l’aide de l’épaisseur effective, mm3
  • Sn : module de section élastique net, mm3
  • t : épaisseur de paroi, mm
  • tm : épaisseur effective aux soudures, mm
  • yi : distance entre l’axe neutre de la section transversale brute et l’axe du ieme trou de boulon
  • Z : module de section plastique de l’aire brute, mm3
  • Zn : module de section plastique de l’aire brute, mm3
  • λ : rapport d’élancement
  • λ¯ : rapport d’élancement normalisé
  • φu : coefficient de résistance lié à la limite ultime, vaut 0,75
  • φy : coefficient de résistance lié à la limite élastique, vaut 0,9

1 Classification des sections

1.1 Voilement local de membrures

Les profilés métalliques, en aluminium ou en acier, comportent certains défauts, tels que des contraintes résiduelles ou des imperfections géométriques. Ces défauts sont inhérents au procédés de fabrication des profilés (laminage, extrusion, soudage, etc.). Ils impliquent des instabilités dans le comportement des membrures. En effet, selon l’influence de l’élancement des parois sollicitées en compression, un phénomène de voilement local peut apparaître, ce qui limite la capacité du profilé. Ce phénomène est illustré sur la figure 1. La ruine d’une membrure due à un voilement local peut avoir des conséquences désastreuses sur le comportement d’une structure. Il est donc important de prendre en compte ce phénomène lors de la conception.

Figure 1 – Exemple de voilement local de membrures en acier.

Le voilement local peut être évité principalement en ajoutant des raidisseurs ou en limitant l’élancement des parois.

1.2 Principe de la classification des sections

Lors de la conception d’une structure, il est nécessaire de pouvoir déterminer le moment résistant des membrures en aluminium. Pour cela, il ne suffit pas seulement de prendre en compte la résistance du matériau. En effet, les profilés d’aluminium sont constitués de parois minces, qui peuvent voiler localement lorsqu’elles sont soumises à des efforts de compression. Ce phénomène d’instabilité peut entraîner la ruine de l’élément avant l’atteinte du moment plastique.

L’élancement des parois, c’est-à-dire le rapport largeur/épaisseur, permet de classer les sections. L’objectif est de caractériser le comportement de la section, c’est-à-dire l’instant à partir duquel peut intervenir le phénomène de voilement.

La norme CSA S157-17, ainsi que le chapitre 17 de la norme CSA S6-14, définit trois classes [1]:

  •  les section de classe 1 (sections compactes) : elles peuvent subir une déformation plastique en compression sans flambement local;
  •  les section de classe 2 (sections non compactes) : elles peuvent subir un moment jusqu’au début de la plastification sans flambement local;
  •  les section de classe 3 (sections élancées) : le flambement local se produit sous l’effet d’un effort inférieur à la limite élastique.

1.3 Détermination des la classe de section

L’appartenance d’une section à une classe dépend de la valeur de l’élancement normalisé, λ¯ , des parois de la section. L’élancement normalisé d’une paroi est défini à la section 10.1.2 de la norme et vaut :

 \lambda^{-}= \sqrt{\frac{F_{{o}}}{F_{{e}}}}=\frac{\lambda}{\pi}\sqrt{\frac{F_{{o}}}{E}

— pour les sections de classe 1, on doit avoir λ¯ < 0,3, ce qui équivaut à :

\frac{b}{t} \lt \frac{250}{m\sqrt{F_{y}}}

— pour les sections de classe 2, on doit avoir λ¯ < 0,5, ce qui équivaut à :

\frac{b}{t} \lt \frac{420}{m\sqrt{F_{y}}}

— pour les sections de classe 3, on a λ¯ > 0,5, ce qui équivaut à :

\frac{b}{t} \gt \frac{420}{m\sqrt{F_{y}}}

Il est à noter que, selon la norme, les sections de classe 1 doivent obligatoirement être symétriques par rapport au plan de fléchissement et être entièrement retenues contre le flambement latéral.

Les grandeurs b et t désignent, respectivement, la largeur et l’épaisseur de la paroi considérée pour le calcul de la classe. La figure 1 de la norme CSA S157-17 illustre les valeurs de b et t à prendre pour différents types de sections. Le paramètre m se détermine avec les formules données dans les sections 7.5.2.1 et 7.5.2.2 de la norme S157-17.

1.4 Calcul du moment résistant en fonction de la classe de section

Le calcul du moment résistant d’une section dépend de sa classe. La section 11.2 de la norme S157-17 donne les formules pour calculer le moment résistant des membrures non susceptibles au flambement latéral en torsion.

Sections de classe 1 C’est le module plastique de section qui est utilisé. Ainsi, pour les fibres en compression, on a :

M_{r}=\phi_{y}ZF_{y}=\phi_{y}M_{y}

et pour les fibres en tension, on a :

M_{r}=\phi_{u}Z_{n}F_{u}

Zn est le module de section plastique net. Il se calcule par la formule : Zn = Z −∑(dot)yi, où do est le diamètre des trous, t l’épaisseur de l’élément et yi la distance entre l’axe neutre de la section brute et le centre du trou de boulon. Par exemple, pour un profilé tubulaire identique à celui illustré sur la figure 2, c’est-à dire comportant une ligne de trous de boulons de 20 mm de diamètre au bas du profilé, on a : do = 20 mm, t = 10 mm et yi = 70 mm (distance entre le centre du profilé et le centre du trou de boulon); on peut calculer : ∑(dot)yi = 20 × 10 × 70 = 14000 mm3. On a donc : Zn = 196333 − 14000 = 182333 mm3

Figure 2 – Exemple de section tubulaire percée.

Sections de classe 2 C’est le module de section élastique qui est utilisé. Ainsi, pour les fibres en compression, on a :

M_{r}=\phi_{y}ZF_{y}=\phi_{y}M_{y}
et pour les fibres en tension, on a :

M_{r}=\phi_{u}S_{n}F_{u}

Sn est le module de section élastique net. Il se calcule par la formule : Sn = S −∑(dot)yi, où do est le diamètre des trous, t l’épaisseur de l’élément et yi la distance entre l’axe neutre de la section brute et le centre du trou de boulon. Le moment résistant de la section est égale à la plus faible des deux valeurs de Mr calculées ci-dessus.

Sections de classe 3 Pour le calcul de la résistance en flexion, on utilise le module élastique pondéré par la contrainte de flambement normalisée ¯ pour tenir compte du voilement qui apparaît avant l’atteinte de la limite élastique :
M_{r}=\phi_{y}SF^{{-}}F_{y}
Lorsque les éléments plats comprimés comportent deux rives longues appuyées, on a :

M_{r}=\phi_{y}S_mF_{y}

Dans les équations ci-dessus, ¯ est calculée selon la formule présentée à la section 10.1.3 de la norme S157-17. Sm désigne le module de section effective, lié à l’épaisseur effective tm. Cette dernière est définie à la section 7.3.3.1 de la norme S157-17.

1.5 Importance du facteur de forme

Le facteur de forme est le ratio entre le module de section plastique et le module de section élastique :

v=\frac{Z}{S}

Dans l’hypothèse où le voilement local des parois d’un profilé est exclu, on peut considérer deux états limites :

  • la plastification des fibres extrêmes;
  • la plastification de la section complète.

Dans le premier cas, la contrainte est donnée par l’équation : Fy = My/S. Dans le second cas, avec un comportement élasto-plastique parfait du matériau, la contrainte dans la section demeure égale à Fy et elle est donnée par la formule : Fy = Mp/Z. Il y a donc une réserve de capacité plastique entre le moment élastique My et le moment plastique Mp. Cette réserve est mesurée par le facteur de forme de la section.

1.6 Limites de la norme

La méthode de calcul proposée par la norme ne permet pas de profiter pleinement de la richesse des formes de profilé qu’il est possible de produire en aluminium. à titre d’exemple, l’ajout de raidisseurs dans une section tubulaire n’aura pas d’effet sur le calcul de la classe, puisque seuls la largeur du profilé et l’épaisseur de la paroi interviennent dans les formules de calcul de la classe (voir l’exemple à la section 2.1). De même, il est impossible de calculer à la main les modules de section plastique et élastique de section complexe.

Pour ces cas particuliers, qui sortent du cadre prévu par la norme, il est permis [2] de ne pas utiliser les recommandations de la norme, à condition de de procéder à des vérifications basées sur des bases théoriques ou sur des essais expérimentaux.

2 Exemples

2.1 Section tubulaire circulaire

Énoncé: On considère une poutre en flexion simple dont le profilé est représenté sur la figure 3. Le profilé est en aluminium 6061-T6, extrudé. La limite élastique de ce matériau vaut Fy = 240 MPa et sa limite ultime vaut : Fu = 260 MPa. Le tube n’est pas boulonné. On souhaite connaître la résistance en flexion de la poutre.

Figure 3 – Section du profilé tubulaire étudier.

Calcul de la classe

Dans un premier temps, il faut déterminer à quelle classe de section appartient ce profilé. Les formules présentées à la section 11.1 de la norme S157-17 indiquent que :

  • lorsque b/t < 250/m√Fy la section est de classe 1;
  • lorsque b/t < 420/m√Fy la section est de classe 2;
  • lorsque b/t > 420/m√Fy la section est de classe 3;

Selon l’article 7.5.2 de la norme S157-17, le paramètre m se calcule par :

\bullet m =1,15+\frac{f_{2}}{2f_{1}}lorsque -1<f_{2}/f_{1}<1

\bullet m = \frac{1,3}{1-f_{2}/f_{1}} lorsque f_{2}/f_{1} <-1

Ici, on a f1 = f2 car l’axe neutre est situé au centre du profilé. Ainsi :

m=1,15+\frac{1}{2}=1,65

On calcule le ratio b/t :

\frac{b}{t}=\frac{150}{10}=15

La valeur limite du ratio b/t pour une section de classe 1 vaut :

\frac{250}{m\sqrt{F_{y}}}=\frac{250}{1,65\ast\sqrt{240}}=9,78

Le profilé n’est donc pas de classe 1.
La valeur limite du ratio b/t pour une section de classe 2 vaut :

\frac{420}{m\sqrt{F_y}}=\frac{420}{1,65*\sqrt{240}}=16,43

Le profilé est donc de classe 2.

Calcul du moment résistant

Ce calcul se fait avec l’article 11.2 de la norme S157-17. Il faut calculer le moment résistant des fibres en compression, celui des fibres en traction, puis garder la plus basse des deux valeurs.
Pour les fibres en compression, on a :

M_{r}=\phi_{y}SF_{y}

Le module élastique, S, de la section circulaire creuse vaut :

S=\frac{\pi(d^4_{ext}-d^4_{int})}{32d_{ext}}=\frac{\pi(150^4-130^4)}{32\ast150}=144409mm^3

On a donc :

M_{r}=0,9\ast144409\ast240=31,19.10 ^{3}kNm

Pour les fibres en traction, on a :

M_{r}=\phi_{u}S_nF_u

Étant donné que le tube n’est pas boulonné, on a Sn = S. Ainsi :

M_r=0,75\ast144409\ast260=28,16.10^3 kNm

Le moment résistant de la section vaut donc Mr = 28,16.10³ kNm

Optimisation du profilé On souhaite connaître quel serait le gain de résistance si la section était de classe 1. On a vu plus haut que, pour que la section soit de classe 1, il faut que le rapport b/t soit inférieur à 9,78. Ainsi, avec b = 150 mm, on doit avoir t supérieur à 15,34 mm. Ainsi, si on augmente l’épaisseur des parois de la section à 16 mm, la section sera de classe 1.

Le moment résistant dans les fibres en compression sera donc de :

M_{{r}}=\phi_{{y}}ZF_{{y}}=\phi_{{y}} \frac{d_{ext}^{3}-d_{int}^{3}}{6}F_{{y}}

0,9\ast\frac{150^{3}-(150-2\ast16)^{3}}{6}\ast240=62,35kNm

Et le moment résistant dans les fibres en traction sera de :

 m_{r}=\phi_{u}Z_{n}F_{u}=\phi_{u}Z_{n}F_{u}

0,75\ast\frac{150^{3}-(150-2\ast16)^3}{6}\ast260=56,30kNm

Le moment résistant de la nouvelle section est donc : Mr = 56,30 kNm . Le fait d’augmenter l’épaisseur des parois de 10 à 16 mm, a permis de doubler le moment résistant de la section, au prix d’une multiplication de son aire (et donc de la masse linéique) d’un facteur 1,53.

Calculs des propriétés avec un logiciel spécialisé

Il est possible de calculer les propriétés des sections et les moments résistants avec des logiciels spécialisés, tels que ShapeDesigner, de la société MECHATOOLS. Comme illustré sur la figure 4, les calculs effectués pour cet exemple par ce logiciel donnent :
pour une épaisseur de paroi de 10 mm (section de classe 2) :

  •  module de section élastique : S = 14,41.104 mm4 ;
  • module de section plastique : Z = 19,60.104 mm4 ;
  • moment élastique maximal : My = 34,59 kNm;
  • moment plastique : Mp = 47,05 kNm;

pour une épaisseur de parois de 16 mm (section de classe 1) :

  • module de section élastique : S = 20,40.104 mm4 ;
  • module de section plastique : Z = 28,82.104 mm4 ;
  • moment élastique maximal : My = 48,7 kNm;
  • moment plastique : Mp = 69,17 kNm.

Figure 4 – Résultat des calculs de ShapeDesigner pour une section circulaire avec une épaisseur de parois de 10 mm.

Il est à noter que les valeurs des moments donnés par ShapeDesigner sont les valeurs des moments élastique, My, et plastique, Mp, et non du moment résistant Mr; au sens de la norme S157-17, puisqu’il n’y a pas de pondération par les facteurs de résistance φy et φu.

2.2 Section complexe

Pour des sections complexes, il n’est pas possible de calculer les modules de section élastique et plastique à la main. Il convient donc de déterminer les propriétés des profilés à l’aide de logiciels spécialisés. Cet exemple illustre l’utilisation du logiciel ShapeDesigner pour calculer le moment résistant d’une section de poutre caisson. La section étudiée est illustrée sur la figure 5.

Figure 5 – Section de poutre caisson étudiée.

Dans un premier temps, la section est tracée sur le logiciel AutoCad, puis exportée au format .dxf sur ShapeDesigner.

Les résultats sont les suivants :

  • moment élastique maximal selon X (axe autour duquel est soumis en flexion le profilé considéré) : Mx= 30,63 kNm;
  • moment élastique maximal selon Y : My = 86,16 kNm;
  • moment plastique selon X : Mp = 43,56 kNm;
  • moment plastique selon Y : Mp = 142,68 kNm;

Figure 6 – Résultats des calculs de ShapeDesigner.

Écrit par Victor Desjardins

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